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ガウスの微分方程式

ガウスの微分方程式（ガウスのびぶんほうていしき）あるいは超幾何微分方程式（ちょうきかびぶんほうていしき）とはガウスにその名をちなむ、以下の形をした常微分方程式である。 x ( 1 − x ) y ″ + ( γ − ( α + β + 1 ) x ) y ′ − α β y = 0 {\displaystyle

Связанные слова

微分方程式

でない微分方程式は非線形微分方程式と呼ばれる。 例えば、g(x) を f(x) を含まない既知の関数とすれば、 ( d d x + α ) f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+\alpha

積分微分方程式

数学において積分微分方程式（せきぶんびぶんほうていしき、英: integro-differential equation）とは、ある函数の積分と微分のいずれも含むような方程式のことを言う。 一般的な一階線型の積分微分方程式は、次のような形状を持つ。 d d x u ( x ) + ∫ x 0 x f

常微分方程式

\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).} 常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。 常微分方程式が d n x d t n + a n − 1 ( t ) d n − 1 x d t

レヴナー微分方程式

は、単位円板から、内部の点を境界へ押しやるようなジョルダン曲線の弧を持つ単位円板の中への写像へ移すことに注意する。境界に触れている点は s と独立であり、[0,∞) から単位円への連続函数 λ(t) を定義する。κ(t) は λ(t) の複素共役、（もしくは、逆数）で、 κ ( t ) = λ ( t )

偏微分方程式

重要な非線型方程式には、 流体を記述するナビエ-ストークス方程式 一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式 非線形波動を記述するKdV方程式・mKdV方程式 (これらの方程式は可積分系でも研究されている) クレローの方程式 非線形シュレディンガー方程式 などがある。 線型偏微分方程式

ヒル微分方程式

} ヒル微分方程式の特別な場合として重要なものには、マシュー方程式（n = 0, 1 に対応する項のみが含まれている場合）やマイスナー方程式などがある。 ヒル微分方程式は、周期微分方程式の理解に役立つ重要な例の一つである。f(t) の正確な形状に依存して、ヒル微分方程式

リッカチの微分方程式

はリッカチの微分方程式を満足する。 リッカチの微分方程式の一般解を初等関数によって代数的に求積法で解く事は一般にできないことが、リウヴィルによって証明されている。 しかし、何らかの方法で特解を求めることができた場合は、一般解を以下のようにして 構成できる。今、特解を y 1 {\displaystyle y_{1}}

ルジャンドルの微分方程式

ルジャンドルの微分方程式（るじゃんどるのびぶんほうていしき）とは、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である。 d d x [ ( 1 − x 2 ) y ′ ] + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle {\frac

複素微分方程式

80-158. ^ Jimbo, M., Miwa, T., & Ueno, K. (1981). Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients:

線型微分方程式

の場合の線型微分方程式は（もとの方程式に属する）斉次あるいは同次な (homogeneous)方程式と呼ばれる。s1 = d + s2 であることを考えれば線型微分方程式 Ly = b のすべての解は Ly = b の特殊解と、元の方程式に対応する斉次方程式 L y = 0 {\displaystyle Ly=0} の解

確率微分方程式

どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。 以下の確率微分方程式、

スツルム＝リウヴィル型微分方程式

スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム（英語版） (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式

一階偏微分方程式

来ることもある。それと関連して、常微分方程式の族を積分することによって一般解が得られることもある。 波動方程式に対する特性曲面は、次の方程式の解の等位面で得られる。 u t 2 = c 2 ( u x 2 + u y 2 + u z 2 ) . {\displaystyle

積分方程式

現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。 4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。 ただし ϕ {\displaystyle \phi

放物型偏微分方程式

放物型偏微分方程式（ほうぶつがたへんびぶんほうていしき、英: parabolic partial differential equation）とは、二階の偏微分方程式（PDE）の一種で、熱拡散や海洋音波伝播（英語版）などを含む様々な科学の問題に現れるものである。 次の形式で記述される偏微分方程式 A

楕円型偏微分方程式

B^{2}-AC<0.\ } （ここで、暗に u x y = u y x {\displaystyle u_{xy}=u_{yx}} を意味している）。 円錐断面や二次形式を分類する際に判別式 B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC}

双曲型偏微分方程式

数学の分野における、n 階の双曲型偏微分方程式（そうきょくがたへんびぶんほうていしき、英: hyperbolic partial differential equation）とは、大まかには、n−1 階微分まで良設定な初期値問題を含む偏微分方程式のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任

方程式

方程式を代数的に取り扱うという立場においては線型微分方程式は最も基本的な対象となる。 重要な数学的概念の導入・発展をもたらした関数方程式に、熱方程式や超幾何関数の微分方程式、可積分系に対するKdV方程式・KZ方程式が挙げられる。 微分方程式や差分方程式の解は、一般解と特異解とに分類されることがある。

微分方程式系の可積分条件

可積分条件(integrability condition)は、αi 上の条件で十分に大きな次元で積分可能な部分多様体が存在することを保証する条件を言う。 パフィアン系が完全可積分(complete integrability)であるための必要十分条件は、フロベニウスの定理(Frobenius